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Forza di gravità

Forza di gravità al variare della concentrazione delle masse

Alcuni credono che possano crearsi (magari con esperimenti al CERN) dei piccoli buchi neri dovuti a un'alta concentrazione di materia in uno spazio piccolissimo.

Questa ipotesi nasce da una sbagliata concezione della forza di gravità. 

Legge di gravitazione universale

Due corpi si attirano in modo direttamente proporzionale alle loro masse e inversamente proporzionale alla loro distanza elevata al quadrato..

dove:

  • F è l'intensità della forza tra le masse,
  • G è la costante di gravitazione universale,
  • m1 è la prima massa,
  • m2 è la seconda massa, e
  • r è la distanza tra i centri delle masse.

Erroniamente ci si è concentrati nel come varia la forza in base alla distanza e si è portato all'estremo tale ipotesi, facendo notare che: se la distanza tende a zero, la forza tende all'infinito.

Da qui l'ipotesi sbagliata che: se anche una piccola massa (come quelle usate negli acceleratori) fosse concentrata in un piccolo punto, essa attirerebbe le altre masse con una forza enorme, così come fanno i buchi neri.

Qui cambierò il punto di vista e metterò in evidenza come l'attrazione possa essere considerata un'energia; energia che dipende esclusivamente dalla massa e che quindi ha un valore finito indipendentemente dalla distanza dei corpi.

Esaminiamo questi due casi:

1° caso: ci sono due masse poste a una distanza di 10 m; una di 1000 kg e l'altra di 1 kg.

r    =    10 m
m1=1000 kg
m2=      1 kg

2° caso: ci sono sempre due masse poste a una distanza di 10 m, la prima massa da 1000 kg è concentrata in un volume pari a quello della massa da 1 kg.  Essendo la distanza misurata dal centro delle due masse, anche in questo caso la distanza è di 10 m.

r    =    10 m
m1=1000 kg (concentrata)
m2=      1 kg

 

Se andiamo ad eseguire i calcoli abbiamo:

F = G x (1000 x 1) / (10^2) = G x 1000 / 100 = 10 G; (non riportiamo le unità di misura)

In entrambi i casi, la forza percepita dalle masse è la stessa e non dipende dalla "concentrazione" delle masse, ma dalla loro massa, quindi otteniamo che:

Conclusioni

A parità di distanza dei centri di massa delle due masse, cambiare la concentrazione delle masse, non ha nessun effetto sulla forza di attrazione. 

Forza di gravità al variare della distanza

Visto il risultato dei casi precedenti, la domanda sorge spontanea. Guardando il 2' caso:

cosa accadrebbe nell'ipotesi in cui, invece di lasciare la distanza inalterata, avvicinassimo la seconda massa alla prima?

per spiegarlo, dobbiamo partire da un caso limite: la stella di neutroni.

Le stelle di neutroni si suppone siano composte da neutroni impacchettati gli uni con gli altri, fino a raggiungere la dimensione di qualche km. Siccome questa è la concentrazione limitein cui si può trovare la massa ordinaria, calcoliamo tale concentrazione.

Siccome protoni e neutroni hanno una massa simile (0,05% di differenza), prendiamo i dati del protone e calcoliamo la massa di 1 mc di materia compatta (degenere).

Protone: diametro = 1,65x10-16 m

Calcolando quanti protoni entrerebbero in un mc (4x1044 protoni/mc)

moltiplicandolo per la sua massa (1,67x10-27 kg) 

otteniamo una concetrazione limite della materia di 7x1017 kg/mc 

Adesso prendiamo una sfera di materia degenere del raggio di 1 m (ha un volume di 4,2 mc e una massa di 3x1018 kg). Abbiamo:

r    = 1 m
m1=3x1018 kg
m2= 1 kg

Applicando la legge di Gravitazione universale otteniamo una forza di attrazione di: 2x108 N.

Adesso, vediamo cosa accade se riduciamo la distanza a 1/10.

 

Riducendo la distanza di un ordine di grandezza, otteniamo:

r    = 0,1 m
m1=3x10/sup> kg
m2= 1 kg

m2= 1 kg

Il raggio della prima massa si riduce di 1/10, ma la sua massa si riduce di 3 ordini di grandezza.

Essendo che non ne possiamo aumentare la concentrazione, perché siamo già al valore limite, otteniamo: 2x107 N.

Quindi, anche se riducendo di 1 ordine di grandezza; la forza dovrebbe aumentare di 2 ordini di grandezza (raggio al quadrato), ma essendo che la massa si riduce di 3 ordini di grandezza, otteniamo che (+2-3=-1) la forza di attrazione si riduce di un ordine di grandezza.

Se continuiamo a scendere nelle dimensioni, anche la forza di attrazione si ridurrà con lo stesso ordine di grandezza della distanza, diventando piccolissima.

(Tra due protoni che si "toccano" la forza di attrazione gravitazionale è dell'ordine di 3x10-34 N ).

Questa forza di gravità piccolissima, data da una particella "compatta" come il protone, ci fa capire come sulla forza di attrazione ha molta più importanza la quantità di massa, la quale deve essere enorme per poter esercitare una forza che sia sensibile nell'ordine di grandezza dell'uomo.

Se poi aggiungiamo che: i nuclei atomici hanno un diametro che è almeno 10.000 volte minore del diametro dell'atomo; si capisce che, il nucleo atomico più vicino si trova a una distanza enorme e quindi, la già piccola forza di attrazione, diventa infinitesima (tendende a zero) quando parliamo di distanze dell'ordine di grandezza degli atomi.

E se anche fosse possibile avvicinare dei nuclei (come nelle reazioni nucleari), la forza di gravità sarebbe sempre insignificante per le masse in gioco.

Conclusioni

Riducendo  la distanza tra due oggetti, essi finiranno per toccarsi e quindi, la loro distanza sarà determinata dai rispettivi raggi.

Riducendo di 1 ordine di grandezza la distanza, la forza dovrebbe aumentare di 2 ordini di grandezza, ma essendo che la massa si riduce di 3 ordini di grandezza, otteniamo che: la forza di gravità si riduce (di 1 ordine di grandezza).

Quindi, anche masse compatte di materia, se piccole di dimensioni (e quindi di massa), esercitano forze di attrazione piccolissime che non potranno mai generare un buco nero.